AP微积分BC

解答：

使用比值判别法：

$$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2 / 2^{n+1}}{n^2 / 2^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{2n^2} = \frac{1}{2} < 1$$

因此，根据比值判别法，该级数收敛。

为了求其和，我们可以使用幂级数的知识。考虑已知的几何级数公式：

$$\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}, \quad |x| < 1$$

对两边求导并乘以x，可以得到：

$$\sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}$$

再次求导并乘以x：

$$\sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^n = \frac{x(1+x)}{(1-x)^3}$$

令x = 1/2，得到：

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n} = \frac{\frac{1}{2}(1+\frac{1}{2})}{(1-\frac{1}{2})^3} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}}{(\frac{1}{2})^3} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{8}} = 6$$

解答：

首先，我们需要找到对应于点(0,0)的参数t值。

令x = 0：$$t^2 - 4t = 0 \Rightarrow t(t-4) = 0 \Rightarrow t = 0 \text{ 或 } t = 4$$

令y = 0：$$t^3 - 3t^2 = 0 \Rightarrow t^2(t-3) = 0 \Rightarrow t = 0 \text{ 或 } t = 3$$

同时满足x=0和y=0的t值是t=0。

参数方程的导数公式：$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$$

计算导数：

$$\frac{dx}{dt} = 2t - 4$$

$$\frac{dy}{dt} = 3t^2 - 6t$$

因此，$$\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2 - 6t}{2t - 4}$$

在t=0处：$$\frac{dy}{dx} = \frac{3(0)^2 - 6(0)}{2(0) - 4} = \frac{0}{-4} = 0$$

所以，在点(0,0)处的切线斜率为0。

解答：

极坐标曲线所围区域的面积公式为：$$A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} [r(\theta)]^2 d\theta$$

首先，确定θ的范围。当r=0时：$$2 + 2\cos\theta = 0 \Rightarrow \cos\theta = -1 \Rightarrow \theta = \pi$$

由于曲线是对称的，我们可以从0到π积分，然后乘以2：

$$A = 2 \times \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} (2 + 2\cos\theta)^2 d\theta = \int_{0}^{\pi} 4(1 + \cos\theta)^2 d\theta$$

展开平方：$$(1 + \cos\theta)^2 = 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta$$

使用三角恒等式：$$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$$

所以：$$1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta = 1 + 2\cos\theta + \frac{1 + \cos 2\theta}{2} = \frac{3}{2} + 2\cos\theta + \frac{1}{2}\cos 2\theta$$

因此：$$A = 4 \int_{0}^{\pi} \left( \frac{3}{2} + 2\cos\theta + \frac{1}{2}\cos 2\theta \right) d\theta$$

计算积分：

$$A = 4 \left[ \frac{3}{2}\theta + 2\sin\theta + \frac{1}{4}\sin 2\theta \right]_{0}^{\pi}$$

$$A = 4 \left( \frac{3}{2}\pi + 0 + 0 \right) - 4(0) = 4 \times \frac{3}{2}\pi = 6\pi$$

所以，曲线所围区域的面积为6π。